מדינת ישראל
משרד החינוך
המינהל למדע וטכנולוגיה המזכירות הפדגוגית
תחום התוכן הפיקוח על המתמטיקה
מציאת השלם על פי החלק עם צורות הפלא
מתמטיקה
שכבת גיל כיתה ו'
נושא בתוכנית הלימודים חלק של כמות, חישוב החלק ומציאת הכמות היסודית (עמ' 122)
משך השיעור 50 דקות
פיתוח וכתיבה כתיבה מדריכים - הפיקוח על המתמטיקה
עריכה מדעית ד"ר ראיסה גוברמן
מטרות השיעור עקרונות מתמטיים-פדגוגיים מרכזיים בשיעור:
  1. צורות שוות שטח מהוות תמיד אותו חלק משלם קבוע, גם אם אינן חופפות.
  2. אם שני שלמים שווי שטח, הרי ששטחי החלקים של כל אחד מהשלמים שנקבעו על ידי שבר מסוים, יהיו שווים. תכונה זו מתקיימת גם כאשר השלמים שווי השטח אינם חופפים.
  3. אם שטחים שונים מייצגים את אותו החלק בשלמים שונים - הרי ששטח השלמים שונה.
מטרת השיעור:
התלמידים ידעו לבנות צורה שלמה בהינתן צורה המהווה חלק מהצורה, בין שהחלק מבוטא כשבר יחידה ובין שהוא מבוטא כשבר פשוט אחר קטן מ-1.
מיומנויות מתכנית הלימודים שימוש במבנים מתמטיים לפתרון בעיות, מעבר בין ייצוגים שונים.
מיומנויות המאה ה-21 פתרון בעיות, שימוש במיומנויות עבודה ביישומון, מיומנויות Office (העתק והדבק).
ידע מוקדם
רצף
מציאת שלם על פי החלק (שבר יחידה) במקרה שהשלם הוא מלבן. בדיקת ייצוגים שונים של שלמים. מציאת שלם על פי החלק (שבר קטן מ-1 ואיננו שבר יחידה) במקרה שהשלם הוא מלבן. בדיקת ייצוגים שונים של שלמים. מציאת השלם על-פי החלק (שבר קטן מ-1 ואיננו שבר יחידה) במקרה שהשלם הוא מצולע כלשהו. בדיקת ייצוגים שונים של שלמים. מציאת השלם על פי הכמות החלקית - בעיות מילוליות. חישוב משוואות כפל שברים כשהמכפלה היא מספר שלם.
חומרי למידה ערכת אביזרים של צורות הפלא


מהלך השיעור
מהלך ההוראה תיאור הפעילות
שלב חשיפת/הבנת העקרונות החשובים שיופיעו במשימה המרכזית של השיעור שתוצג בהמשך. פעילויות למידה המלצות למורה
מציגים לתלמידים באמצעות היישומון:
מצולע הבנוי ממשולש, מעוין כחול, טרפז ומשושה. למשל,
שואלים:
איזה חלק מהווה המשולש משטח המצולע שהתקבל.
לאחר קבלת התשובה:
מבקשים מהתלמידים לבנות בעזרת צורות הפלא (אביזרים או יישומון) מצולע אחר שהמשולש הירוק
מהווהמשטחו.
למשל,
חשוב לעודד את התלמידים להשתמש בהרכבים אחרים של הצורות.
לאחר התנסות קצרה, התלמידים יציגו מצולעים שונים שווי שטח, שנבנו מצורות שונות.
בדיון המסכם חשוב להדגיש:
  • כל הצורות שהתקבלו שוות שטח, אף על פי שבמקרים שונים הן נבנו מצורות שונות, והמצולעים שהתקבלו אינם בהכרח חופפים.
  • אם שטחו של החלק (במקרה זה) שווה בכל המצולעים, הרי שגם שטח כל השלמים שווה גם במקרה שהשלמים הם מצולעים שאינם חופפים.
המטרה בפעילות קצרה זו היא לעורר את תשומת לב התלמידים באפשרות של החלפת צורות תוך כדי שמירה על השטח. למשל, החלפת שני משולשים במעוין הכחול.


חשוב שהתלמידים יגיעו למסקנה זו בעצמם, ורק בשלב הדיון ישוחחו באופן מפורש על היחסים שבין השטחים של הצורות השונות.
שלב הצגת המשימה המרכזית של השיעור ושלב ההתמודדות העצמית של התלמידים פעילויות למידה המלצות למורה
  1. מבקשים מהתלמידים לבנות בעזרת צורות הפלא (אביזרים או יישומון) מצולע ששטח המעוין
    הכחול הוא משטחו.
    לאחר הבנייה, התלמידים יציגו את הצורות שבנו ויסבירו את האסטרטגיה שנקטו כדי למצוא את השלם,
    כאשר ידוע השטח שלממנו.
    אסטרטגיות אפשריות לפתרון:
    1. בעזרת אומדן וניסוי וטעייה: אם נתון מהשטח של השלם, הרי שצריך להוסיף רק, שהוא קטן יותר מהמעוין הכחול. הצורה היחידה שהיא קטנה יותר בשטחה מהמעוין הכחול היא המשולש הירוק. כאשר מוסיפים למעוין הכחול, בדרך כלשהי, את המשולש הירוק, מקבלים מצולע ששווה בשטחו לשלושה משולשים ירוקים. כלומר, המעוין הכחול מהווה משטחו.

    2. הם שני חלקים של.
      לכן, יש לחלק את המעוין לשני מצולעים שווי שטח. מצולעים אלו הם המשולשים הירוקים. כל אחד מהווה משטח השלם. מכאן שיש להוסיף עוד ולקבל את השלם.
    3. כמו באסטרטגיה ב', רק בעזרת המרת המעוין הכחול בשני משולשים ירוקים.
  2. מבקשים מהתלמידים לבנות בעזרת צורות הפלא (אביזרים או יישומון) מצולע ששטח המקבילית הבנויה מהטרפז האדום ומהמשולש הירוק הוא משטחו.
    את המקבילית מציגים בעזרת היישומון:
    לאחר הבנייה, התלמידים יציגו את המצולעים שבנו ויסבירו את האסטרטגיות שנקטו כדי לבנות את המצולע המייצג את השלם, שהמקבילית הבנויה מהטרפז ומהמשולש היא משטחו.
    אסטרטגיות אפשריות לפתרון:
    1. בעזרת אומדן וניסוי וטעייה: אם נתון מהשטח של השלם, הרי שצריך להוסיף רק . במקרה זה מנסים להוסיף צורות שהן קטנות בשטחן עד שמגיעים למצב שבו שטח המקבילית הוא מהמצולע החדש שיצרו. להבדיל מהמקרה הקודם, אסטרטגיה זו לא נוחה ולא יעילה במקרה זה.
    2. הם שני חלקים של . לכן, יש לחלק את שטח המקבילית לשני מצולעים שווי שטח.
    3. מצולעים אלו יכולים להיות שני מעוינים כחולים או שני מצולעים הבנויים כל אחד משני משולשים ירוקים. כל מצולע כזה מהווה משטח השלם. מכאן שיש להוסיף עוד ולקבל את השלם. לכן, יש להוסיף מעוין כחול או מצולע אחר השווה בשטחו לשני משולשים ירוקים.
    4. כמו באסטרטגיה ב', רק בעזרת המרת שטח המקבילית בשני מעוינים כחולים או בארבעה משולשים ירוקים.
מטרת הבעיה השנייה שבה מוצג החלק () מהשלם בצורת מקבילית, היא להביא את התלמידים להבנה שכדי למצוא את השלם, יש למצוא את השטח/ערך של חלק שהוא שבר יחידה ולכפול אותו במספר שברי היחידה שבונים שלם. הדרך המתבססת על אומדן וניסוי וטעייה, מבוססת על בדיקה אם המצולע הנתון מהווה את החלק מהשלם שנבנה. לעתים היא יעילה, אבל לא מבוססת על חישוב השלם על פי חלק הנתון.
שלב איסוף הרעיונות לרעיון מרכזי פעילויות למידה המלצות למורה
בסיכום הדיון יש להדגיש את העקרונות הבאים:
  • כדי למצוא את השלם על פי החלק, צריך לדעת פי כמה שטח השלם גדול מהחלק. (קל לחשב אם יודעים מהו השטח המייצג את שבר היחידה - שבר שהמונה שלו שווה ל-1).
  • ייתכן מצב שבו שטחים שונים ייצגו את אותו החלק משלמים שונים. במקרה זה שטחי השלמים שונים זה מזה.
פעילויות משלימות לעבודה עצמית של תלמידים פעילויות למידה
עבדו ביישומון וצרו צורות לפי ההנחיות הבאות.
בכל אחד מהמקרים, תעדו את עבודתכם על ידי שימוש באפשרות של PrtScn(כפתור במקלדת שהלחיצה עליו גורמת לצילום המסך).
לאחר מכן השתמשו באפשרות של "הדבק" על ידי לחיצה על המקש הימני בעכבר.
הסבירו בכל אחד מהמקרים איך הגעתם לפתרון.
להורדת גרסת הדפסה של יחידת ההוראה(pdf)